Limit Fungsi & Turunan Fungsi Satu Variable

BAB 4

LIMIT FUNGSI

Definisi

Limit biasa digunakan untuk menyatakan batas. Artinya kita boleh mendekati batas tersebut tetapi tidak boleh mencapai batas tersebut.

Limit fungsi adalah suatu nilai pendekatan disekitar titik tertentu baik pendekatan dari kiri suatu titik maupun pendekatan dari kanan titik tersebut (Dedi Heryadi, 2007).

Notasi Limit

           

Cara membacanya : Limit Fungsi f(X), untuk x mendekati a sama dengan L

Teknik Menghitung Limit

1.      Subtitusi Langsung

Contoh :

a.       Hitung limit berikut ini

Cara penyelesaiannya

b.      Hitung limit dibawah ini

-          Jika kita langsung mesubtitusikan x menjadi 3 maka hasil kita akan peroleh 0/0. Oleh karena itu kita harus menyederhanakan fungsi dengan menghilangkan factor factor dalam pembilang dan penyebutnya.

Cara penyelesaiannya

2.      Pemfaktoran

Contoh :

a.       Hitung Limit dibawah ini

Cara Penyelesaiannya

Karena kita dapatkan hasil dengan bentuk tak tentu maka kita harus menggunakan pemfaktoran.

3.      Teknik Sekawan

Contoh :

a.       Hitung Limit dibawah ini

Cara penyelesaian

Karena kita dapatkan hasil 0/0 maka kita harus menggunakan cara mengalikan akar sekawan.

BAB 5

Turunan Fungsi Satu Variable

A.   Derivative

Jika y adalah suatu fungsi dari x atau y = f(x), maka f'(x) = y'(x) atau seluruhnya menyatakan turunan pertama dari f terhadap x.
Turunan suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai

B.   Diferensial

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan.

Misalkan y adalah fungsi dari x atau y = f(x). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap x dinotasikan dengan :

C.   Perbedaan Diferensial dengan Derivative

Jika y = f(x) atau dalam bahasa yang lugas: y adalah fungsi x maka artinya nilai y tergantung pada nilai x. Ketergantungan tersebut dalam matematika disebut "fungsi". Derivatif (sering diterjemahkan sebagai turunan) menyatakan "bagaimana suatu fungsi (yaitu y dalam contoh tadi) berubah jika suatu nilai (yaitu x) berubah".

Biasanya perubahan dalam x dinyatakan sebagai delta x atau dx. Sehingga BENAR jika derivatifnya y = f(x) adalah dy/dx. Cara menghitung atau menentukan berapa dy/dx nya disebut differentiation (di sekolah kita mengenalnya sebagai hitung diferensial).

D.   Kaidah-kaidah turunan konstan

Untuk sifat pertama turunan, yaitu aturan fungsi konstanta, kita buktikan dengan menggunakan Definisi Turunan seperti pada tulisan sebelumnya. Dan untuk pembuktian sifat lainnya juga menggunakan definisi tersebut.

Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f'(x) = 0 yakni D_x(k) = 0

    

    

Teorema Turunan Fungsi Konstan

Turunan dari fungsi konstan adalah 0. Yaitu, jika c adalah bilangan real, maka

E.    Fungsi Umum

1.      Rumus umum

Contoh :

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
 f(x) = 3x⁴ + 2x² − 5x

Penyelesaian :

f(x) = 3x⁴ + 2x² − 5x
f ‘(x) = 4⋅3x^{4− 1} + 2⋅2x²⁻¹ − 5x^1-1
f ‘(x) = 12x³ + 4x¹ − 5x⁰
f ‘(x) = 12x³ + 4x − 5

F.    Turunan Fungsi Penjumlahan

Misalkan F(x) adalah penjumlahan dua fungsi U dan V dengan U dan V adalah fungsi dari x:
F(x) = U + V
Maka turunan dari F(x) dirumuskan sebagai berikut:
F'(x) = U' + V'

Contoh Soal

Jika f(x) = x^2 + 10 maka f'(x) = ...
A. x + 1
B. 2x
C. 2x + 10
D. 2x + 20
E. 4x

Pembahasan
Misal:
U = x^2 maka U' = 2x
V = 10 maka V' = 0
Jadi,
f'(x) = U' + V' = 2x + 0 = 2x
Jawaban: 2x

G.   Turuna Fungsi Pengurangan

Jika y = f(x) = u(x) ⋅ v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x)⋅ v(x) + u(x) ⋅ v'(x).

Jadi jika  y = u⋅ v,

maka  y’ = u’ v + u v’.

            Contoh

            Carilah f ′(x) jika f(x) = –x³ – 8x²

Penyelesaian:

f(x) = –x³ – 8x²

Misal:

u = –x³ → u’ = –3x^{3 – 1} = –3x²

v = 8x² → v’ = 8 ⋅ 2⋅ x^{2 – 1} = 16 x¹ = 16x

Jadi jika f(x) = u – v, maka f ′(x) = u’ – v’ = –3x² – 16x

H.    Turunan Fungsi Perkalian

f'(x)=u(x).v'(x)+u'(x).v(x)

Contoh

Tentukan Y' dari Y= (2x² + x)(4x + 1)

Jawab:

U = 2x² + x

U’= 4x + 1

V = 4x + 1

V’= 4

Y’= U’V + UV’

Y’= (4X + 1)(4x + 1)+(2x² + x)(4)

Y’= (16x² + 4x + 4x + 1) + (8x² + 4x)

Y’= 24x² + 12x + 1

I.       Turunan Fungsi Pembagian

Contoh :

Tentukan turunan dari

 

Penyelesaian :

Cara Cepat

J.       Turunan Fungsi Trigonometri

Contoh :