Bilangan Rill Dan Himpunan

Bilangan Real

Dalam matematika menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan akar dua. Bilangan riil juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekuivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind dan deret Archimides. Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner.

 Sifat-sifat operasi Bilangan Real

Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan” dan “perkalian”.

Untuk setiap , beralaku sifat-sifat berikut;

Penjumlahan:

1. Sifat tertutup pada penjumlahan;

 

2. Sifat komutatif pada penjumlahan

 

3. Sifat asosiatif pada penjumlahan

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral)

6. Sifat invers pada penjumlahan

Perkalian:

1. Sifat tertutup pada perkalian

2. Sifat komutatif pada perkalian

3. Sifat asosiatif pada perkalian

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)

6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers.

(untuk )

Sifat-sifat bilangan real

Aksioma medan

Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma (yang berarti dianggap berharga atau sesuai atau dianggap terbukti dengan sendirinya) berikut. Misalkan x,y dan z merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi x+y merupakan penjumlahan, serta xymerupakan perkalian. Maka:

• Aksioma 1 (hukum komutatif): x+y = y+x, dan xy = yx
• Aksioma 2 (hukum asosiatif): x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z
• Aksioma 3 (hukum distributif): x(y+z) = (xy + xz)
• Aksioma 4: Eksistensi unsur identitas. Terdapat dua bilangan riil berbeda, yang dilambangkan sebagai 0 dan 1, sehingga untuk setiap bilangan riil x kita mendapatkan 0+x=x dan 1.x=x.
• Aksioma 5: Eksistensi negatif, atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x, terdapat bilangan riil y sehingga x+y=0. Kita dapat juga melambangkan y sebagai -x.
• Aksioma 6: Eksistensi resiprokal, atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan riil x tidak sama dengan 0, terdapat bilangan riil y sehingga xy=1. Kita dapat melambangkan y sebagai 1/x.

Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.

Aksioma urutan

Kita akan mengasumsikan terdapat himpunan R+, yang disebut sebagai bilangan positif yang merupakan himpunan bagian dari R. Misalkan juga x dan y adalah anggota R+. Himpunan bagian ini memenuhi aksioma urutan berikut:

• Aksioma 7: x+y dan xy merupakan anggota R+
• Aksioma 8: Untuk setiap x yang tidak sama dengan 0, x anggota R+ atau -x anggota R+, tetapi tidak mungkin keduanya sekaligus
• Aksioma 9: 0 bukan anggota R+.

 Garis bilangan takterhingga yang menggambarkan bilangan riil

Aksioma kelengkapan

• Aksioma 10: Setiap himpunan bilangan riil S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yakni ada suatu bilangan riil B sehingga B=sup(S).

Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian

1. Operasi penjumlahan

Contoh:

1.

2.

3.

4.

2. Operasi pengurangan

Contoh:

1.

2.

3. -6 – 4 = -6 + (-4) = -10 $

3. Operasi perkalian

Contoh:

1.

2.

3.

4. Operasi pembagian

Contoh:

 

 

Pengubahan pecahan ke desimal, desimal ke persen dan sebaliknya

 

1. Mengubah Pecahan Biasa ke Desimal

Contoh:

 

 

 

2. Mengubah Pecahan Desimal ke Persen

Contoh:

c) Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya

Contoh:

Nyatakan ke dalam pecahan atau ke dalam persen!

 

 

 

 

 

 

Contoh soal dan jawaban bilangan real

1. Sebuah koperasi sekolah membeli lima lusin buku seharga Rp. 150.000,00. Jika harga jual sebuah buku Rp. 2.800,00, maka persentase keuntungan yang diperoleh koperasi tersebut adalah…

a) 4%
b) 6%
c.  10%
d.  12%
e.  14%

Jawab : d. 12%

Cara Untung = harga jual – harga beli

        = Rp.168.000,00 – Rp.150.000,00

        = Rp.  18.000,00

% Untung = Untung

        H.B

  = Rp. 18.000,00 x 100% = 12%

     Rp. 150.000,00

 

2. Sebuah toko baju ada memberikan diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp. 800.000,00, berapa kita harus membayar?

Jawab:

Diskon = 25 % x Rp. 800.000,00

 

 

Jadi, kita harus membayar sebesar:

Rp. 800.000,00 – Rp. 200.000,00 = Rp. 600.000,00

3. Sebuah TV dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!

Jawab:

Laba = Rp. 2.400.000,00 – Rp. 2.000.000,00 = Rp. 400.000,00

Persentase keuntungan (laba) dari harga beli:

Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:

4. Beras dibeli dengan harga Rp.168.000,00 per-50kg, kemudian dijual harga Rp.2.100,00 tiap ½ kg. Persentase keuntungan dari harga pembelian adalah…

a.10%
b.15%
c.23%
d.30%
e.35%

Jawaban: c 25%

Cara menghitung Untung = harga jual – harga beli

        = Rp.210.000,00 – Rp.168.000,00

        = Rp.  42.000,00

% Untung =    U

       H.B

  = Rp. 42.000,00 x 100% = 25%

     Rp. 168.000,00

BAB II

HIMPUNAN

1.1 PENGERTIAN

Definisi : Himpunan adalah kumpulan benda atau hal – hal lain yang telah terdefinisi secara jelas. Benda atau halhal lain tersebut disebut elemen atau unsure atau anggota himpunan. Himpunan biasanya diberi symbol huruf capital dan anggota himpunan dibatasi dengan tanda kurung kurawal. { … }

Contoh :

1.       A = {b, c, d} artinya bahwa himpunan A mempunyai anggota b, c dan d atau dengan kata lain dapat dikatakan b, c dan d merupakan anggota himpunan A. Untuk menyatakan bahwa suatu benda atau object menjadi anggota suatu himpunan digunakan lambang Îdan untuk menyatakan bahwa suatu objek bukan merupakan anggota himpunan digunakan symbol Ï

2.       A = {b,c,d} dan B = {e,f} maka

b Î A dan b ÏB

c Î A dan c Ï B

d Î A dan d Ï B

1.2 PENULISAN HIMPUNAN

Penulisan himpunan yang biasa dipergunakan ada dua bentuk yaitu;

A. Bentuk Enumerasi yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan semua anggota

himpunan dianta dua kurung kurawal

Contoh :

1. A = { a, b, c, d, e } menyatakan himpunan 5 hurup pertama.

2. B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } menyatakan himpunan 6 bilangan ganjil.

3. C = { 11, 13, 17, 19 } menyatakan himpunan 4 bilangan prima.

B. Notasi Pembentuk Himpunan yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan sifat

anggotanya pada suatu notasi diantara dua kurung kurawal.

Contoh : 1. A = { x | x = lima hurup pertama abjad }.

2. B = { x | x = enam bilangan ganjil pertama }.

3. C = { x | 10 < x < 20 , x Î bilangan prima }.

C. Diagram Venn

yaitu menuliskan himpuan dalam bentuk diagram dimana himpunan semestanya digambarkan dengan segi empat sedangkan himpunanhimpunan yang ada dilingkungannya digambarkan dengan lingkaran.

Contoh :  

1.3 KEANGGOTAAN HIMPUNAN

Pada dasarnya himpunan dipakai untuk mengelompokan anggota yang sejenis atau memiliki sifat yang mirip saja, tapi bila dipakai untuk menyatakan himpunan dari himpunan lain atau kelompokkelompok yang berbedapun tidak dapat disalahkan, sebagai contoh ;

A = { a, 1, b, 2, c, 3 }

P = { a, b, { a, b }, c, d }

S = { a, {a}, {{a}} }

1.4 KARDINALITAS HIMPUNAN

Misal S adalah himpunan yang angotaangotanyaberhingga banyaknya, maka jumlah

banyaknya angota didalam himpunan S disebut kardinalitas dari himpunan S Notasi : n (S) atau |S|

1.5 SIMBOLSIMBOL

BAKU HIMPUNAN

Dalam mempelajari himpunan ada beberapa himpunan yang memakai simbul baku yang sering dipakai oleh beberapa buku. Simbul simbul himpunan baku ini diantaranya :

P = Himpunan bilangan positip = { 1, 2, 3, 4 . . . }

N = Himpunan bilangan asli = { 0, 1, 2, 3 . . . }

Z = Himpunan bilangan bulat = { . . . 2,– 1, 0, 1, 2, . . . }

R = Himpunan bilangan riil

1.6 JENISJENIS

HIMPUNAN

Dalam ilmu matematika dikenal ada beberapa macam himpunan, antara lain :

1.6.1 HIMPUNAN KOSONG

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong

dilambangkan dengan tanda {} atau Ø.

Contoh :

A = { } atau A = Ø

  

1.6.2 HIMPUNAN SEMESTA (S)

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objekobjek

yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga sering disebut himpunan universum atau semesta pembicaraan. Himpunan semesta biasa diberi symbol S

Contoh :

Besi dan tembaga termasuk logam, jika orang menyebut besi dan tembaga berarti orang

tersebut sedang membicarakan masalah logam maka dikatakan { logam } merupakan

himpunan semesta dari { besi, tembaga } atau dapat ditulis S = { besi, tembaga }

1.6.3 HIMPUNAN LEPAS

Yaitu dua buah himpunan yang tidak memiliki anggota yang bersekutu. Himpunan lepas

diberi symbol //

Contoh :

Jika A = { x | x ÎP, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

1.6.4 HIMPUNAN SAMA

Definisi : himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap

angota himpunan A juga merupakan angota himpunan B demikian pula sebaliknya.

Notasi : A = B

Contoh ;

1. P = { a, b, c, d } dan Q = { d, c, b, a} , maka P = Q

2. Perhatikan himpunan himpunan berikut :

{ a }, { a, b, c }, { a, c, D }, { c, b, a }, { a, b }

Manakah dari himpunan himpunan tersebut yang sama dengan himpunan A = { b, c,

a } ?

Jawab :

 a, b, c } dan { c, b, a } identik atau sama dengan himpunan A karena

mereka mempunyai tiga buah elemen yang sama. Himpunan himpunan yang lain tidak sama dengan himpunan A karena mereka tidak mengandung semua elemen dari himpunan A atau mengandung elemen lain.

3. Perhatikan himpunanhimpunan

{ 4, 2 }, { x | x x 2 6x + 8 = 0 } , { x | x adalah genap, 1 < x < 5 }

Manakah dari himpunan himpunan tersebut yang sama dengan B = { 2, 4 } ?

Jawab :

Semua himpunan di atas sama dengan himpunan B karena mereka semua memuat

elemen 2 dan 4 (tidak elemen lainnya).

1.6.5 HIMPUNAN BERPOTONGAN

Dua himpunan dikatakan saling berpotongan jika terdapat minimal 1 anggota yang

menjadi anggota kedua himpunan tersebut.

1.6.6 HIMPUNAN BAGIAN

DefInisi : Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B

Notasi : A ⊂ B

A ⊂ B; A himpunan bagian dari B bila tiap anggota himpunan A adalah elemen B.

Contoh:

A = { 2, 3, 4} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , maka A ⊆ B

Catatan :

Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan misalkan A, adalah 2n(A). Dimana n(A)

adalah bilangan kardinal yang menunjukkan jumlah elemen dari himpunan A.

1.6.7 HIMPUNAN EKUIVALEN

Definisi : himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika

kardinal kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A ~ B

Contoh ;

X = { p, q, r, s } dan Y = { 2, 3, 5, 7 } , maka X ~ Y

1.6.8 HIMPUNAN KUASA

Himpunan kuasa (Power Set) adalah himpunan seluruh himpunan bagian dari suatu

himpunan.

Contoh :

S = { 0, 1 } maka himpunan kuasanya Ρ(S) = { Ø, {0}, {1}, {0, 1} }

1.6.9 HIMPUNAN TERHINGGA

Definisi : Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotannya terhingga.

Contoh:

P = { x | x adalah bilangan asli yang kurang dari 10 }

P adalah himpunan terhingga, karena elemen elemennya terhingga yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9.

1.6.10 HIMPUNAN TAK HINGGA

Definisi : Himpunan tak hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak

terhingga atau tidak terbatas.

Contoh:

A = { x | x adalah bilangan asli }

A adalah himpunan tak hingga, karena elemen elemennya tidak terbatas atau tak berhingga.

1.7 OPERASI HIMPUNAN

1.7.1 UNION (GABUNGAN)

Definisi : Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua angota yang

termasuk dalam himpunan A atau atau himpunan B atau keduanya.

Notasi : A U B dibaca A union B

Contoh

1. A = { a, b, c, d } dan B = { e, f, g }

Maka A È B = { a, b, c, d, e, f, g }

Union A dan B dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut

A È B = { x | x Î A atau x Î B }

Berlaku hukum A È B = B È A

A dan B keduaduanya

juga selalu berupa subhimpunan dari AÈB, yaitu ; A Ì (A È

B) dan B Ì (AÈB)

2.. Terdapat himpunan :

U = {1, 2, 3, …, 9}

A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6, 8} ; C = {3, 4, 5, 6}

Tentukan :

a. A ÈB            c. B È C

b. A È C           d. B È B

Jawab :

a. Untuk menentukan A dan B, kita gabung semua elemen elemen dari A bersamasama dengan elemen elemen B. Dengan demikian, A ÈB = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

b. Begitu pula dengan A ÈC = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

c. B È C = {2, 4, 6, 8, 3, 5}

d. B È B = B = {2, 4, 6, 8}

1.7.2 INTERSECTION (IRISAN)

Definisi : Irisan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari angota angotanya dimiliki bersama oleh A dan B, yaitu anggota anggota yang termasuk A dan juga termasuk B. Notasi : A È B yang dibaca ”A irisan B”

Contoh :

1. S = { a, b, c, d } dan T = { b, d, f, g } Maka S È T = { b, d }

Dapat dinyatakan dengan A È B = {x | x Î A dan x Î B} Setiap himpunan A dan himpunan B mengandung A Ç B sebagai subhimpunan, yaitu

(A Ç B) Ì A dan (A Ç B) Ì B

Jika himpunan A dan himpunan B tidak mempunyai elemenelemen yang dimiliki bersama, berarti A dan B terpisah, maka irisan dari keduanya adalah himpunan kosong.

2. Terdapat himpunan sebagai berikut

A = {0, 1, 3, 4, 6} ; B = {0, 3, 6} ; C = {5, 6}

Tentukan :

a. A Ç B

b. A Ç C

c. B Ç C

JAWAB

a. A Ç B = { 0, 3, 6 }

b. A Ç C = { 6 }

c. B Ç C = { 6 }

1.7.3 DIFFERENCE (SELISIH)

Definisi : Selisih dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B. Notasi : A – B dibaca ”selisih A dan B” atau ”A kurang B” dapat dinyatakan dengan A – B = { x ½ x Î A dan x Ï B} Himpunan A mengandung A – B sebagai subhimpunan, berarti (A – B) ÌA

Contoh :

1. Terdapat himpunan sebagai berikut

A = { 0, 1, 3, 4, 6 } ; B = { 0, 3, 6 } ; C = { 5, 6 }

Tentukan :

a. A – B

b. A – C

c. B - C

JAWAB

a. A - B = { 1, 4 }

b. A - C = { 0, 1, 3, 4, }

c. B - C = { 0, 3 }

1.7.4 COMPLEMENT (KOMPLEMEN)

Definisi : Komplemen dari himpunan A adalah himpunan dari elemen elemen yang tidak termasuk A, yaitu selisih dari himpunan semesta U dan A. Notasi : A’ = { x ½ x Î U dan x Ï A} atau A’ = {x ½ x ÏA}

1.7.5 SYMETRIC DIFFERENCE (BEDA SETANGKUP)

Definisi : Beda setangkup dari himpunana A dan B adalah suatu himpunan yang

elemennya ada pada himpunan A atau B tapi tidak dikeduanya. Notasi : A Å B dibaca ” Beda setangkup A dan B dapat dinyatakan pula dengan : A Å B = ( A ÈB ) – ( A Ç B )

1.7.6 CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN CARTESIAN)

Definisi : Perkalian kartesian dari himpunan A dengan himpunan B adalah himpunan yang anggota anggotanya semua pasangan berurutan ( ordered pair ) yang mungkin dibentuka dengan unsur pertama dari himpunan A dan unsur kedua deari himpunan B. Notasi : A x B = { ( a, b) | a Î A dan b Î B .

Contoh :

A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b } , maka

A x B = { (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b) }